Para determinar em qual intervalo há uma raiz real da função f(x) = ln(x) – 2sen(x), precisamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos. Vamos considerar os intervalos comuns onde a função logarítmica e a função seno são definidas e comportam-se de maneira interessante.A função ln(x) é definida para x > 0, e a função seno, sen(x), é definida para todos os números reais. Portanto, a função f(x) = ln(x) – 2sen(x) é definida para x > 0.Vamos analisar alguns intervalos específicos:1. **Intervalo (0, 1)**: – ln(x) varia de -∞ a 0. – sen(x) varia entre -1 e 1. – Portanto, 2sen(x) varia entre -2 e 2. – ln(x) – 2sen(x) pode assumir valores negativos e positivos, dependendo do valor de x.2. **Intervalo (1, 2)**: – ln(x) varia de 0 a ln(2) ≈ 0.693. – sen(x) varia entre -1 e 1. – Portanto, 2sen(x) varia entre -2 e 2. – ln(x) – 2sen(x) pode assumir valores negativos e positivos, dependendo do valor de x.3. **Intervalo (2, ∞)**: – ln(x) varia de ln(2) ≈ 0.693 a ∞. – sen(x) varia entre -1 e 1. – Portanto, 2sen(x) varia entre -2 e 2. – ln(x) – 2sen(x) tende a ser positivo para valores grandes de x, pois ln(x) cresce sem limite enquanto 2sen(x) permanece limitado.Para encontrar uma raiz real, precisamos de um intervalo onde a função mude de sinal. Isso pode ocorrer no intervalo (0, 1) ou (1, 2), onde a função pode cruzar o eixo x.Portanto, a resposta é: Em qual dos intervalos (0, 1) ou (1, 2) há uma raiz real da função f(x) = ln(x) – 2sen(x)?

Para determinar em qual intervalo a função f(x) = ln(x) – 2sen(x) possui uma raiz real, precisamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos. Uma raiz real de uma função é um valor de x para o qual f(x) = 0.Primeiramente, vamos observar o domínio da função. A função logarítmica natural ln(x) está definida apenas para x > 0. Portanto, o domínio de f(x) é (0, ∞).Agora, vamos considerar os intervalos possíveis:1. (0, 1)2. (1, 2)3. (2, 3)4. (3, 4)Para encontrar uma raiz, precisamos resolver a equação ln(x) – 2sen(x) = 0. Isso pode ser complicado analiticamente, então vamos usar uma abordagem gráfica ou numérica para estimar a raiz.Podemos plotar a função f(x) e observar onde ela cruza o eixo x. Alternativamente, podemos usar métodos numéricos como o método da bisseção ou o método de Newton-Raphson para aproximar a raiz.Vamos considerar o intervalo (1, 2):- Em x = 1, f(1) = ln(1) – 2sen(1) = 0 – 2sen(1) = -2sen(1), que é negativo.- Em x = 2, f(2) = ln(2) – 2sen(2). Sabemos que ln(2) é positivo e 2sen(2) é negativo, mas o valor exato depende da precisão dos cálculos. No entanto, podemos estimar que ln(2) é aproximadamente 0,693 e 2sen(2) é aproximadamente -0,909, então f(2) é positivo.Como f(1) é negativo e f(2) é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo (1, 2).Portanto, a função f(x) = ln(x) – 2sen(x) possui uma raiz real no intervalo (1, 2).

Para confirmar, podemos usar ferramentas computacionais para encontrar uma aproximação mais precisa da raiz. Por exemplo, usando um software de álgebra computacional ou uma calculadora científica, podemos iterar sobre o intervalo (1, 2) para encontrar o valor de x que satisfaz f(x) = 0.

Em resumo, a função f(x) = ln(x) – 2sen(x) possui uma raiz real no intervalo (1, 2).